<form @submit.prevent="doSearch">
  <label for="search-txt">検索</label>
  <input type="text" name="key" placeholder="検索する" id="search-txt">
</form>

Vue.jsで、フォームをサブミットさせないでページ遷移をさせる場合は、「@submit.prevent」でフォームアクションをキャンセルして、バイドしたmethod(ここでは「doSearch」)でrouter.pushすれば、ページをロードしないでそのままformを送信してページ遷移することができます。