<template>
  <div>
    <button v-on:click="installBnr">インストールする</button>
  </div>
</template>

<script>

export default {
  methods: {
    installBnr(){
      let deferredPrompt;

      window.addEventListener('beforeinstallprompt', (e) => {
        // Prevent Chrome 67 and earlier from automatically showing the prompt
        e.preventDefault();
        // Stash the event so it can be triggered later.
        deferredPrompt = e;
        deferredPrompt.prompt();
      });
    }
  }
}
</script>

Vue.jsアプリでPWAのインストールポップアップ（「ホーム画面に追加する」ダイアログ）を強制的に表示させるスクリプトです。ボタンを押すとダイアログが出るだけなので、実際に使う際には、インストールされているかなど条件分岐が必要です。

参考： Add to Home Screen | Web Fundamentals